怎样证明贝努利不等式

网上有关“怎样证明贝努利不等式”话题很是火热，小编也是针对怎样证明贝努利不等式寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

一、内容与要求

1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；

（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；

（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。

3．认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。

（1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。

（2）证明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。

（3）证明：

≥。

4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：

5．用向量递归方法讨论排序不等式。

6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。

7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：

(1＋x)n＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。

了解当n为实数时贝努利不等式也成立。

8．会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。

9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

二、内容安排

本专题内容分成四讲，结构如下图所示：

本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念，学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，多数学生在学习高中必修课五个模块的基础上展开的．作为一个选修专题，教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性．

第一讲是“不等式和绝对值不等式”，它是本专题的最基本内容，也是其余三讲的基础．

本讲的第一部分类比等式的基本性质，从“数与运算”的基本思想出发讨论不等式的基本性质，这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则．接着讨论基本不等式，介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”，并把基本不等式推广到三个正数的算术—几何平均不等式．对于一般形式的均值不等式，则只作简单介绍，不给出证明．在此基础上，介绍了它们在解决实际问题中的一些应用，如最基本的等周问题，简单的极值问题等。

第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义．

绝对值三角不等式是一个基本的结论，教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的表示和绝对值的几何意义，引导学生从数的运算角度探究归纳出绝对值三角不等式，接着联系向量形式的三角不等式，得到绝对值三角不等式的几何解释，最后用代数方法给出证明．这样，数形结合，引导学生多角度认识这个不等式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三角不等式可以解决形如的函数的极值问题，教科书安排了一个这样的实际问题。

对于解含有绝对值的不等式，教科书只讨论了两种特殊类型不等式的解法，而不是系统地对这个问题进行研究。教科书引导学生探讨了形如或的不等式的解法，以及形如或的不等式的解法．学生通过这两类含有绝对值的不等式能够基本学到解含有绝对值的不等式的一般思想和方法。

第二讲是“证明不等式的基本方法”．对于不等式的深入讨论必须首先掌握一些基本的方法，所以本讲内容也是本专题的一个基础内容。本讲通过一些比较简单的问题，介绍了证明不等式的几种常用而基本的方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法．

比较法是证明不等式的最基本的方法，比较法可以分为两种，一种是相减比较法，它的依据是：

另一种是相除比较法，是把不等式两边相除，转化为比较所得商式与1的大小关系，它的依据是：当b＞0时，

在比较法的两种方法中，相减比较法又是最基本而重要的一种方法。

在证明不等式的过程中，根据对于不等式的条件和结论不同探索方向作分类，证明方法又可以分为分析法和综合法。在证明不等式时，可以从已知条件出发逐步推出结论的方法是综合法；寻找结论成立的充分条件，从而证明不等式的方法就是分析法．

证明不等式的方法还可以分为直接证法和间接证法，反证法是一种间接证法．它从不等式结论的反面出发，即假设要证明的结论不成立，经过正确的推理，得出矛盾结果，从而说明假设错误，而要证的原不等式结论成立．

在证明不等式的过程中，有时通过对不等式的某些部分作适当的放大或缩小达到证明的目的，这就是所谓的放缩法．

教科书对以上方法都结合实例加以介绍。本讲内容对进一步讨论不等式提供了思想方法的基础．

本讲的教学内容中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。

第三讲是“柯西不等式和排序不等式”．本讲介绍两个基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它们的简单应用．

柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用．教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用。

在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式。接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了一个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式。

排序不等式也是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式．有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明。教科书在讨论排序不等式时，展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是数学课程标准正式引入到高中数学教学中。

第四讲是“数学归纳法证明不等式”．本讲介绍了数学归纳法及其在证明不等式中的应用．对于某些不等式，必须借助于数学归纳法证明，所以在不等式选讲的专题中安排这个内容是很有必要的。教科书首先结合具体例子，提出寻找一种用有限步骤处理无限多个对象的方法的问题．然后，类比多米诺骨牌游戏，引入用数学归纳法证明命题的方法，并分析了数学归纳法的基本结构和用它证明命题时应注意的问题（两个步骤缺一不可）．接着举例说明数学归纳法在证明不等式中的应用，特别地，证明了贝努利不等式。

本专题的教学重点：不等式基本性质、基本不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用；

教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式；

本专题教学约需18课时，具体分配如下（仅供参考）：

第一讲 不等式和绝对值不等式

一、不等式 约3课时

二、绝对值不等式 约2课时

第二讲 证明不等式的基本方法

一、比较法 约1课时

二、综合法与分析法 约2课时

三、反证法与放缩法 约1课时

第三讲 柯西不等式与排序不等式

一、二维形式的柯西不等式 约1课时

二、一般形式的柯西不等式 约1课时

三、排序不等式 约2课时

第四讲 数学归纳法证明不等式

一、数学归纳法 约2课时

二、用数学归纳法证明不等式 约2课时

学习总结报告 约1课时

三、编写中考虑的几个问题

根据课程标准，本专题应该强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力，我们在教科书的编写中努力去实现课程标准的思想。

(一)重视展现不等式的几何背景，力求让学生对重要不等式有直观理解

数量关系和空间形式是数学研究的两个重要方面，不等式则是从数量关系的角度来刻画现实世界的。我们一般借助于代数方法证明不等式。代数证明要经过一系列的变形，人们常常不能很直接地看出其中的数量关系。而借助于几何的方法，把不等式中的有关量适当地用图形中的几何量表示出来，则往往能很好地指明不等关系，使学生从几何背景的角度，直观地，从而也是直接地理解不等式。本专题中的重要不等式都有明显的几何背景，教科书注意呈现不等式的几何背景，帮助学生理解不等式的几何本质。如对于是借助于面积关系，绝对值三角不等式是借助于向量和三角形中的边长关系，柯西不等式是借助于向量运算，排序不等式是借助于三角形的面积。这样，逐渐引导学生在面对一个数学问题时能从几何角度去思考问题，找到解决问题的途径

(二)重视数学思想方法的教学

数学思想是对于数学知识（数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体现的转化的思想，函数思想，以及证明不等式的比较法、综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法，在证明柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法，教科书都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问题加以理解和体会。

(三)重视引导学习方式和教学方式的改进

在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比较突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原则做得不够。学生的问题意识不强，发现问题的能力不强，独立地解决问题的能力也不强。针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生通过类比提出问题及其解决方法，对于数学结论进行特殊化、作推广。例如，在讲述了基本不等式以后，教科书就提出了一个思考问题：“对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？”在证明了关于三个正数的均值不等式以后，又直接给出了一般的均值不等式；在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探究性问题“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？”；再如“一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学自己探究。”等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见。

(四)注意发展数学应用意识

重要不等式在许多实际问题中可以得到应用，在实际工作中常常能起到节约能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本专题中，教科书注意体现数学在实际工作中的广泛应用，编写了一些体现数学应用的例、习题。如经典的等周问题、盒子体积问题、施工队临时生活区选点问题、关于面积和体积的最值问题。通过这些简单的应用问题，使学生体会数学在实践中的作用。

四、对教学的几个建议

(一)注意把握教学要求

无论是不等式还是数学归纳法，都已经发展成为内容非常丰富的初等数学分支，也出版了一些专门的论著，老师们对于这些内容一般都有丰富的教学经验，很容易把这些内容作一些拓展和补充。所以，在这个专题的教学中，要特别注意把握好教学要求，不要随意提高教学要求，而应该按照数学课程标准的要求来控制教学的深广度。课程标准对于本专题的几个教学内容都明确的教学要求，如：对于解含有绝对值的不等式，只要求能解几种特殊类型的不等式，不要求学生会解各种类型的含有绝对值的不等式。对于数学归纳法在证明不等式的要求也只要求会证明一些简单问题。只要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法，会利用所学的不等式证明一些简单不等式，等等。

另外，在不等式和数学归纳法的许多问题中，常常需要一些技巧性比较强的恒等变形，在本专题的教学中则要控制这方面的教学要求，不要使教学陷于过于形式化和复杂的恒等变形的技巧之中，教学中不要补充一些代数恒等变形过于复杂或过于技巧化的问题和习题，以免冲淡对于基本思想方法的理解，也不要引入一些过于专业和形式化、抽象化的数学符号语言，对于数学归纳法的理解，不必要求学生对于方法的理解水平提高到专业数学工作者才需要的数学理论高度，而只需要通过一些学生容易理解的数学问题中加深对于方法的理解和掌握。对于大多数的学生来说，要重视通过比较简单的问题让学生认识、理解和掌握这部分的基本数学思想和方法。

当然，对于部分确有余力的学生，仍可以适当对于教学内容作一些拓展，如可以介绍一般的均值不等式的证明及其应用，以使学生对于这一重要不等式有一个比较完整的了解。

(二)要抓住教学重点

无论对于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，还是解含有绝对值的不等式，不等式证明的方法，或数学归纳法的教学，都要抓住教学重点，抓住基本思想基本方法的教学，力求以简驭繁。对于几个重要不等式，最基本的是二元(二维)的情况，核心的思想也是在二元(二维)的不等式中得到直接的体现；对于不等式的证明的最基本的方法是比较法；解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；让学生能对数学归纳法思想真正理解和掌握，就能使学生灵活地加以应用。这样，学生就能掌握本专题最基本也是最重要的知识。

第一章 实数

★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算

☆内容提要☆

一、 重要概念

1．数的分类及概念

数系表：

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）

常见的非负数有：

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数： ①定义及表示法

②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。

4．相反数： ①定义及表示法

②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：2n-1

偶数：2n（n为自然数）

7．绝对值：①定义（两种）：

代数定义：

几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、 实数的运算

1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

分配律）

3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”

到“右”（如5÷ ×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

三、 应用举例（略）

附：典型例题

1． 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│

=b-a.

2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。

第二章 代数式

★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算

☆内容提要☆

一、 重要概念

分类：

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）

几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

=x, =│x│等。

4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据：乘法分配律

6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别： 、 是根式，但不是无理式（是无理数）。

7.算术平方根

⑴正数a的正的平方根（ [a≥0—与“平方根”的区别]）;

⑵算术平方根与绝对值

① 联系：都是非负数， =│a│

②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

⑴ ( —幂，乘方运算)

① a＞0时， ＞0;②a＜0时， ＞0（n是偶数）， ＜0（n是奇数）

⑵零指数： =1（a≠0）

负整指数： =1/ （a≠0,p是正整数）

二、 运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2．分式的性质

⑴基本性质： = （m≠0）

⑵符号法则：

⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）

3．整式运算法则（去括号、添括号法则）

4．幂的运算性质：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤

技巧：

5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6．乘法公式：（正、逆用）

（a+b）（a-b）=

(a±b) =

7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

9．算术根的性质： ＝ ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b＞0)(正用、逆用)

10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A. ;B. ;C. .

11．科学记数法： （1≤a＜10,n是整数＝

三、 应用举例（略）

四、 数式综合运算（略）

第三章 统计初步

★重点★

☆ 内容提要☆

一、 重要概念

1.总体：考察对象的全体。

2.个体：总体中每一个考察对象。

3.样本：从总体中抽出的一部分个体。

4.样本容量：样本中个体的数目。

5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、 计算方法

1.样本平均数：⑴ ;⑵若 ， ，…， ,则 (a—常数， ， ，…， 接近较整的常数a);⑶加权平均数： ;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

2．样本方差：⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 （a—接近 、 、…、 的平均数的较“整”的常数）;若 、 、…、 较“小”较“整”，则 ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：

三、 应用举例（略）

第四章 直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。

☆ 内容提要☆

一、 直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）

4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）

6．互为余角、互为补角及表示方法

7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）

9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成

13．公理、定理

14．逆命题

二、 三角形

分类：⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，

3．三角形的主要线段

讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质

① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法

6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。

7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

8．证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论

⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等

⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法

⑸证线段和差关系：延结法、截余法

⑹证面积关系：将面积表示出来

三、 四边形

分类表：

1．一般性质（角）

⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。

⑶外角和：360°

2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷对角线的纽带作用：

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）

4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理

③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：任意等分线段。

四、 应用举例（略）

第五章 方程（组）

★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

☆ 内容提要☆

一、 基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）

2． 分类：

二、 解方程的依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c≠0)

三、 解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→

系数化成1→解。

2． 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加减法

四、 一元二次方程

1．定义及一般形式：

2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：

⑷因式分解法（特征：左边=0）

3．根的判别式：

4．根与系数顶的关系：

逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。

5．常用等式：

五、 可化为一元二次方程的方程

1．分式方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如， ）

⑷验根及方法

2．无理方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例， ）⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、 列方程（组）解应用题

一概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系

1． 行程问题（匀速运动）

基本关系：s=vt

⑴相遇问题(同时出发)：

+ = ;

⑵追及问题（同时出发）：

若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则

⑶水中航行： ;

2． 配料问题：溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂

3．增长率问题：

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

三注意语言与解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单位换算

如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

七、应用举例（略）

第六章 一元一次不等式（组）

★重点★一元一次不等式的性质、解法

☆ 内容提要☆

1． 定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2． 一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

3． 一元一次不等式组：

4． 不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac<bc(c<0)

⑷（传递性）a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）

7．应用举例（略）

第七章 相似形

★重点★相似三角形的判定和性质

☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：

注意：①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似（比例线段）→平行。

二、相似三角形性质

1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。

三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。

四、证（解）题规律、辅助线

1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴

⑵

⑶

3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

五、 应用举例（略）

第八章 函数及其图象

★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。

☆ 内容提要☆

一、平面直角坐标系

1．各象限内点的坐标的特点

2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有

意义。

3．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数

（定义→图象→性质）

1． 正比例函数

⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。

⑵图象：直线（过原点）

⑶性质：①k>0，…②k<0，…

2． 一次函数

⑴定义：y=kx+b(k≠0)

⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。

⑶性质：①k>0,…②k<0,…

⑷图象的四种情况：

3． 二次函数

⑴定义：

特殊地， 都是二次函数。

⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。 用配方法变为 ，则顶点为（h,k）;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。

⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。

4.反比例函数

⑴定义： 或xy=k(k≠0)。

⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

1． 用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：

2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。

六、应用举例（略）

第九章 解直角三角形

★重点★解直角三角形

☆ 内容提要☆

一、三角函数

1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .

2． 特殊角的三角函数值：

0° 30° 45° 60° 90°

sinα

cosα

tgα /

ctgα /

3． 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…

4． 三角函数值随角度变化的关系

5．查三角函数表

二、解直角三角形

1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

2． 依据：①边的关系：

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

四、应用举例（略）

第十章 圆

★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆

一、圆的基本性质

1．圆的定义（两种）

2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3．“三点定圆”定理

4．垂径定理及其推论

5．“等对等”定理及其推论

5． 与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）

⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质：

2.切线的性质（重点）

3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…

4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)

2.相切（交）两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理

2.切割线定理

五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

中心角：

内角的一半： (右图)

（解Rt△OAM可求出相关元素, 、 等）

六、 一组计算公式

1.圆周长公式

2.圆面积公式

3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、 点的轨迹

六条基本轨迹

八、 有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周：4、8;6、3等分

九、 基本图形

十、 重要辅助线

1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角

4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线（连心线）

6.两圆相交公共弦

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